Исследование явления дисперсии электромагнитных волн в диэлектриках
Содержание.
Введение....................................................................
....................................................3
§ 1. Материальные уравнения электромагнитного поля в среде с
дисперсией.....5
§ 2. Закон дисперсии. Вектор объемной плотности
поляризации.........................10
§ 3. Зависимость показателя преломления и поглощения от
частоты..................12
Заключение..................................................................
...............................................15
Литература..................................................................
................................................16
Введение.
Важнейшей характеристикой линейной распределенной системы является
закон дисперсии, который связывает волновое число и частоту
монохроматической волны. Он может быть записан как [pic], [pic] или в
неявной форме [pic].
Когда плоская волна описывается одним (вообще говоря,
интегродифференциальным) уравнением, закон дисперсии получают, отыскивая
его решение в виде [pic]. В простейшем случае процесс распространения волны
описывается уравнением
[pic].
При этом волновое число связано с частотой линейной зависимостью [pic], или
[pic], где скорость распространения волны [pic] есть постоянная величина.
Однако уже при учете диссипативных процессов поведение волны описывается
более сложными уравнениями. Закон дисперсии [pic] также усложняется. Для
звуковых волн в вязкой теплопроводящей среде и электромагнитных волн в
среде с проводимостью справедливы следующие соотношения между волновым
числом и частотой:
[pic].
В более общих случаях от частоты могут сложным образом зависеть
действительная и мнимая части волнового числа:
[pic].
Действительная часть характеризует зависимость от частоты фазовой скорости
распространения волны [pic], а мнимая часть — зависимость коэффициента
затухания волны от частоты.
Во многих случаях волновой процесс удобно описывать не одним уравнением
типа волнового, а системой связанных интегродифференциальных уравнений
[pic]. Здесь [pic] — матричный оператор, действующий на вектор-столбец
[pic].В качестве [pic], например, для акустических волн может служить
совокупность переменных [pic] (колебательная скорость, приращения
плотности, давления, температуры), а для электромагнитных волн — компоненты
векторов напряженностей электрического и магнитного полей, электрического
смещения и магнитной индукции. В этом случае формальная схема отыскания
закона дисперсии такова. Ищем решение системы в виде [pic]:
[pic],
Решение будет нетривиальным, только если [pic]. Отсюда получаются искомые
зависимости [pic]. Наличие у дисперсионного уравнения нескольких корней
[pic] означает, что система может описывать несколько типов собственных
волн (мод) среды.
Частотная дисперсия приводит к изменению закономерностей
распространения немонохроматических волн. Действительно, различные
спектральные компоненты обладают в диспергирующей среде отличающимися
скоростями и коэффициентами затухания:
[pic].
В силу дисперсии фазовой скорости в процессе распространения изменяются
фазовые соотношения между спектральными компонентами. Следовательно,
изменяется результат их интерференции: форма немонохроматической волны
искажается. Дисперсия коэффициента поглощения [pic] приводит к
трансформации частотного спектра волны [pic] и дополнительному искажению
формы импульса.
§1. Материальные уравнения электромагнитного поля в среде с дисперсией.
Дисперсионные эффекты часто проявляются при распространении
электромагнитных волн. Покажем, как видоизменяются исходные уравнения при
учете этих свойств. Система уравнений Максвелла сохраняет свой вид.
Свойства среды должны быть учтены в материальных уравнениях:
[pic].
Для статических и медленно изменяющихся полей можно написать
[pic],
где [pic] — константы, т. е. значения [pic] и [pic] в некоторой точке среды
и в некоторый момент времени определяются значениями [pic] и [pic] в той же
точке и в тот же момент времени.
При быстром изменении поля вследствие инерции внутренних движений и
наличия пространственной микроструктуры среды наблюдается зависимость
поляризации от поля, действующего в других точках и в другие моменты
времени. При этом нужно иметь в виду, что в силу условия причинности
поляризация и, следовательно, индукция зависят от полей, действовавших
только в предыдущие моменты времени.
Сказанное можно записать математически, представляя материальные
уравнения в общей интегральной форме:
[pic], (1.1)
[pic], (1.2)
[pic]. (1.3)
По дважды встречающимся индексам здесь и везде в дальнейшем предполагается
суммирование.
Выражения (1.1) — (1.3) представляют собой наиболее общую
функциональную форму записи материальных уравнений для линейной среды. В
этой записи учтена возможность проявления нелокальности, запаздывания и
анизотропных свойств среды.
В частном случае, если среда однородна в пространстве и не изменяет со
временем своих свойств, материальные характеристики [pic], [pic], [pic]
должны зависеть лишь от разностей координат [pic] и времени [pic]. Тогда
[pic], (1.4)
[pic], (1.5)
[pic]. (1.6)
Связь между электрическим смещением и магнитной индукцией, полями и
поляризациями среды определяется соотношениями
[pic]. (1.7)
Поэтому материальные уравнения можно записать также в виде
[pic], (1.8)
где [pic] — тензор восприимчивости среды. Аналогичное выражение можно
записать для [pic].
Для проведения дальнейшего анализа удобно разложить [pic] по плоским
волнам:
[pic].
После обычного перехода в фурье-представление в выражениях для [pic] и
[pic] получаем простую зависимость
[pic], (1.9)
[pic], (1.9)
где
[pic]. (1.10)
Видно, что компоненты тензора диэлектрической проницаемости зависят в
общем случае от частоты и от волнового вектора волны.
Аналогичный вывод можно сделать для магнитной проницаемости [pic] и
проводимости [pic].
Таким образом, дисперсия при распространении электромагнитных волн
может проявляться двояким образом — как частотная (за счет зависимости
[pic], [pic], [pic] от частоты) и как пространственная (за счет зависимости
этих же параметров от волнового вектора [pic]). Частотная дисперсия
существенна, если частота электромагнитных волн близка к собственным
частотам колебаний в среде. Пространственная же дисперсия становится
заметной, когда длина волны сравнима с некоторыми характерными размерами.
Для электромагнитных волн в большинстве случаев, даже в оптическом
диапазоне, характерный размер [pic] (где [pic] — длина волны в среде:
[pic]) и пространственной дисперсией можно пренебречь. Однако в
магнитоактивной плазме существуют области резонанса, в которых [pic] и
параметр [pic] становится значительным уже в радиодиапазоне. Кроме того,
при полном пренебрежении величинами, содержащими малое отношение [pic], не
учитываются некоторые явления, возникающие при распространении
электромагнитных волн в различных средах. Так, учет пространственной
дисперсии в плазме позволяет объяснить появление бегущих плазменных волн.
Пространственная дисперсия является главной причиной (а не поправкой),
вызывающей появление естественной оптической активности и оптической
анизотропии кубических кристаллов. Если не интересоваться этими
специальными случаями, то при рассмотрении частотной дисперсии
пространственной дисперсией можно пренебречь.
При учете только частотной дисперсии материальное уравнение (1.9) имеет
вид
[pic]. (1.11)
В отличие от (1.9) здесь взяты не компоненты плоских волн поля [pic], а
лишь временные гармоники. Диэлектрическая проницаемость [pic] для волны с
частотой [pic] — это тензор, который в случае изотропной среды обращается в
скаляр:
[pic] (1.12)
(напомним, что [pic] — действительная величина). Из (1.12) следует, что
функция [pic] является комплексной:
[pic], (1.13)
[pic], (1.14)
т.е. [pic] является четной функцией, а [pic] — нечетной. Все сказанное
справедливо также для [pic]:
[pic]. (1.15)
Если в недиспергирующей среде диэлектрическая проницаемость — чисто
реактивный параметр, а проводимость — чисто активный, то в среде с
дисперсией это различие утрачивается. С увеличением частоты до значений,
близких к собственным частотам среды, различие в свойствах диэлектриков и
проводников постепенно исчезает. Так, наличие у среды мнимой части
диэлектрической проницаемости с макроскопической точки зрения неотличимо от
существования проводимости — и то и другое приводит к выделению тепла.
Поэтому электрические свойства вещества можно характеризовать одной
величиной — комплексной диэлектрической проницаемостью
[pic], (1.16)
где [pic].
Можно установить предельный вид диэлектрической проницаемости при
больших частотах. В пределе при [pic] имеем
[pic],
и диэлектрическая проницаемость [pic], определяемая выражениями (1.6),
(1.12), стремится к единице при [pic].
Это же свойство диэлектрической проницаемости следует и из простого
физического рассмотрения. При [pic], когда частота волны велика по
Страницы: 1, 2
